【数学】平方根（ルート）の基礎基本をマスターしよう！

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平方根（ルート）は中学校の数学で初めて習いますが、中学校の数学のなかでも非常に難解なものであるため、ルートがよくわからないという人は多いでしょう。高校の数学でもルートが関係する問題は多く出るため、ここでつまずいてしまうと数学の授業についていけなくなることも考えられます。

そうならないよう、中学校数学の基本でもある平方根（ルート）について基礎から理解しましょう。

平方根（ルート）とは？

平方根とはxという数字があった場合、2回かける（2乗する）ことによってxになる数字のことです。この数字を、平方根を示す√（ルート）の記号を使って表すと、√xとなります。

具体的な数字を挙げて考えてみましょう。
例えば、4は2を2回かけることによって4になるため、4の平方根は次のように考えられます。
√4＝2

そして、以下のように計算することで4という数字になります。
√4×√4＝2×2＝4

また、－と－の数字をかけると＋になることも中学校数学で習いますが、ルートの計算でも同様ですので次のように計算できます。
√4×√4＝（－2）×（－2）＝4

つまり、√4の答えには2と－2の2つが存在するということです。

平方根（ルート）の計算方法とは？

ルートを含んだ計算方法は、基礎的なことがわかっていないとなかなか難しいでしょう。
ルートの計算は、√の数字をほかの文字に置き換えたり、一つにまとめたりして計算するのがポイントです。

◇平方根（ルート）の足し算・引き算
ルートの足し算や引き算は、ルートの中が同じ数字のものだけを足し引きできますので、先述の通り、同じルートを一つの文字に置き換えて計算するとわかりやすくなります。

例えば、「√2＋√2」という足し算の場合は次の通りです。
√2＝a
√2＋√2＝a＋a＝2a＝2√2

上記は、ルートの中が同じ数字の場合の計算式となりますが、ルートの中が違う数字の場合も同様に計算することができます。

「3√3－2√2－√3－2√2」という引き算の計算式を例に見てみましょう。
√3＝a、√2＝b

3√3－2√2－√3－2√2
＝3a－2b－a－2b
＝2a
＝2√3

◇平方根（ルート）のかけ算
足し算・引き算に対して、かけ算はルートの外の数字同士、中の数字同士をかけて計算することができます。この場合も、先ほどと同様にルートをほかの文字に置き換えることで計算しやすくなります。

「3√2×5√3」という計算式のように、ルートの外にも数字がある場合を例に見てみましょう。
√2＝a、√3＝b
3√2×5√3＝3a×5b＝15ab
ab＝√2×√3＝√（2×3）＝√6
15ab＝15√6

◇平方根（ルート）の割り算
ルートの割り算も、かけ算と同様にルートの外と中の数字でそれぞれ割り算することが可能です。
ただ、分母にルートが入っていると計算しづらいため、まずルートの中で割り算をおこなったうえで分母と分子に分母と同じルートをかけ、分母からルートをなくします。
そうすることで計算しやすくなりますが、このようにルートの数字をなくすことを「有理化」と呼びます。

具体的な例として「√27÷√6」を計算してみましょう。
√27÷√6
＝√27／√6
＝√9／√2
＝√9／√2×√2／√2
＝√18／2

上記の計算式は簡単なものですが、複雑な計算をおこなうときに有理化は非常に役立ちます。数学の試験でも、有理化をおこなっていないと減点されることがありますので、分母にルートの数字が入る場合は有理化を忘れないよう注意しましょう。

平方根（ルート）の近似値を求めよう

平方根（ルート）は「√4＝2」のように割り切れる数ばかりではなく、小数点以下が永遠に続くようなものもあります。例えば√2は1．41421356……となりますが、このようにそのルートの値に近い数字を「近似値」と呼びます。

次のルートの近似値は試験などでよく出題されますので、語呂合わせで暗記しておきましょう。

√2＝1．41421356…（ひとよひとよにひとみごろ、一夜一夜に人見ごろ）
√3＝1．7320508…（ひとなみにおごれや、人並みに奢れや）
√5＝2．23620679…（ふじさんろくにおうむなく、富士山麓にオウム鳴く）

この近似値を覚えておくと、ルートの数が整数ではどのくらいの数なのか、おおよその見当をつけることができるようになり、計算する際の目安にもなります。

平方根（ルート）の実践問題に挑戦してみよう

では、以上のルールを踏まえてルートの実践問題を解いてみましょう。

◇（√6＋√8＋√10）√2を解いてみよう
まずは、√2のかけ算をおこなってカッコを外し、次にように計算していくと、わかりやすいでしょう。

（√6＋√8＋√10）√2
＝√12＋√16＋√20
＝√（2×2×3）＋√（4×4）＋√（2×2×5）
＝2¬√3＋4＋2√5

◇2√3×3√6＋12／√3を解いてみよう
先ほどの計算式よりも、少し難しくなります。
まず、2√3×3√6を通分しなければ足し算をおこなうことができませんので、下記のように通分しましょう。

｛√3（2√3×3√6）＋12｝／√3
＝（6×3×3√2＋12）／√3

次に、分母を有理化します。
√3（6×3×3√2＋12）／3
＝√3（6×3√2＋4）
＝√3（18√2＋4）
＝18√6＋4√3

◇10、√95、√110を小さい順に並べてみよう
ルートの数字は二乗しても大小が変わらないため、√a＜√bの場合にはa＜bとなることに注目しましょう。

上記の数字をそれぞれ二乗すると100、95、110となり、小さい順に並べると95、100、110となります。
つまり、正しい順番は√95、10、√110ということです。

平方根（ルート）の基礎を押さえて苦手を克服しよう！

平方根（ルート）は、中学の数学でも後半に出てくるものですが、その後の高校数学でもベクトルや複素数といった平方根を応用した内容にもつながっていきます。そのため、平方根の基礎をしっかりと押さえておかなければ、そういった平方根の応用内容の習得も難しくなってしまいます。
平方根の基礎をマスターし、次のステップにつなげることができるように練習問題をおこなうようにしましょう。

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